前言
版上每天都有大量機率相關的貼文洗版，看得有點膩
再加上部分貼文中的算法有些許問題，因此想在此集中討論（吵架就在這裡吵）
讓專版回歸到遊戲交流，而不是一直看類似或重複的內容不斷出現
（不過我的本業是工程師，數學其實不是我的專長，也不排除算錯XD）
by 幾百年沒發文的路人
這篇主要在計算金卡出現機率，以及表達自己抽了 1000 個卡包還抽不到，是非洲難民
但原 PO 的機率計算是有問題的，實際應為 0.211679565993%，而不是原文的 0.213057%
不過因為差距很小，影響不大（主要是金卡的獲得機率實在太低了...）
解釋和計算有點冗長，放在後面，有興趣的人再自行研究
平均抽 472.41 包會有一張金卡，也就是大約抽了 2363 張後可以拿到一張金卡
而原 PO 抽了 1000 包，合計 5000 張，乍看之下似乎運氣差到極點，但其實也就一般般
實際上，抽 1000 包還抽不到金卡的機率甚至比「擲兩顆骰子點數相加超過 10 點」的機率高
透過圖表可以看出抽幾個卡包後「抽不到」金卡的機率（抽到的機率就是 100% 扣掉抽不到的機率）
以下是 50~2500 抽 0 金卡的機率
以下是 1050~2500 抽 0 金卡的機率
（和上圖是一樣數據，只是格線不同而已，放大比較容易閱讀）
抽 1000 抽還抽不到的機率是 12.0147%，運氣確實有點不好，但這程度還遠遠不到非洲
比閃電鳥 EX 四個硬幣都反面還高（6.25%），但和火焰鳥 EX 三個硬幣都反面差不多（12.5%）
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原 PO 應該是對機率計算有些許誤解，所以才會把機率相加
那算出來的數字不是機率，而是期望值，也就是平均每次可以獲得多少東西
舉例來說，嘎拉嘎拉 EX 的招式會投擲兩個硬幣，每擲到一個正面就有 80 點傷害
每個硬幣有 50% 機率是正面，兩個硬幣的期望值為 0.5+0.5=1
則這個招式的傷害期望值 = 80×(0.5+0.5)=80
但這絕對不等於投兩個硬幣就會得到 0.5+0.5=1 個硬幣，使這個招式打出 80 的傷害
（我相信這版的多數人應該蠻有共鳴的）
用 50% 不好解釋，因為成功和失敗都是 50%，不容易從計算中看出端倪，所以我再舉一個例子
猜拳獲勝的機率是 1/3（假設每把都是瞎猜，扣除心理戰等其它因素）
連續猜拳三把，獲勝的期望值為 1/3+1/3+1/3=1，也就是平均三把會贏一把
那如果我只想要贏一把，需要猜幾次呢？三次就夠了嗎？
依照原 PO 的算法會是 1/3+1/3+1/3=1，三次必定獲勝一次
但實際上，三把都沒贏的機率是 2/3×2/3×2/3=8/27，大約是 29.63%
（另外有 44.44% 機率只贏一把，22.22% 機率贏兩把，3.70% 機率三把都贏）
換句話說，連續猜拳三次的情況下，依然還會有將近三成的人一把都沒贏過
（順帶一提，即使是連猜六次，依然會有 8.78% 的人完全沒贏過）
承上，如果把遊戲改成和 A 猜拳三次後再和 B 猜拳三次，至少贏一場的機率有多少？
（想像成是抽只有三張卡的卡包，連抽兩次，抽中出現率 1/3 的大獎的機會有多少？）
答案是 1-2/3×2/3×2/3×2/3×2/3×2/3=1-64/729=91.22%
也就是說就算把次數加倍，連猜六次，依然有 8.78% 的人會完全沒贏過
但原 PO 的算法會變成 (1/3+1/3+1/3)^2=1，必定會贏一次，看出問題所在了嗎？
現在讓我們來看看金卡機率到底該怎麼算，以及原本的公式哪裡有問題
卡包內容分成一般封入和稀有封入，每次抽卡包只會從兩者抽出其一，所以這裡用加法沒問題
金卡抽出機率 = 一般封入機率×一般封入的金卡抽出機率 + 稀有封入機率×稀有封入的金卡抽出機率
而抽到一般封入機率是 99.95%，抽到稀有封入的機率則是 0.05%，因此
金卡抽出機率 = 99.95%×一般封入的金卡抽出機率 + 0.05%×稀有封入的金卡抽出機率
首先，計算一般封入的金卡抽出機率
第 1-3 張牌抽到金卡的機率：0%
第 4 張牌抽到金卡的機率：0.04%
第 5 張牌抽到金卡的機率：0.16%
至少抽出一張金卡的機率 = 100% - 一張金卡都沒抽到的機率
= 100% - (100%-0%)×(100%-0%)×(100%-0%)×(100%-0.04%)×(100%-0.16%)
= 100% - 100%×100%×100%×99.96%×99.84%
= 1 - 99.800064%
= 0.199936%
接著，計算稀有封入的金卡抽出機率
稀有封入會抽到一星以上的卡片，且每張抽中的機率都相同
因為超夢卡包的二星卡比其它卡包還少，因此抽中金卡的機率較高，為 5.263%，其它卡包則是 5%
至少抽出一張金卡的機率 = 100% - 一張金卡都沒抽到的機率
= 100% - (100%-5.263%)^5
= 100% - 94.737%^5
= 1 - 76.3129320133197%
= 23.6870679866803%
以上兩個用原 PO 的方法計算分別會是 0.04% + 0.16% = 0.2% 和 5.263%×5=26.315%
分別差約了 0.32%（0.2% / 0.199936%）和 11.1%（26.315% / 23.6870679866803%）
最終，抽超夢卡包可以獲得金卡的機率 = 99.95%×0.199936% + 0.05%×23.6870679866803% = 0.211679565993%
拿到一張金卡需要抽的卡包數量期望值為 1/0.211679565993% = 472.412155282
換句話說，平均抽 472 包會有一張金卡，但這只是平均，也就是有人可以用更少的次數達成，有人會超過
抽 472 包超夢卡包都沒抽到金卡的機率是 (100% - 0.211679565993%)^472，約為 36.7811%
這表示超過 1/3 的人是沒辦法在期望值內抽到金卡的
而至少中一張金卡的機率則是 100% - 36.7811% = 63.2189%
這篇主要在講投擲 31 次硬幣，總計 11 正面 20 反面
原 PO 強調統計學上 30 就有統計意義，因此只做了 31 次實驗
首先，統計學上的 30 是指要做量化分析時，樣本數至少要有 30 筆
因為樣本太少的話，每一個樣本都會大幅影響統計結果
舉例來說，如果只有兩個樣本，則每個樣本對資料穩定度影響會是 50%
如果要知道應該取多少樣本數才足夠，可以用雙側假設檢驗
設定信賴水準、預期比例、容許誤差，利用常態分佈臨界值求出（下略，有興趣的請自行 Google）
希望在 95% 信賴水準下，預估硬幣正反面出現機率都是 50%，誤差不要超過 3%，則需要 1067 個樣本
（非統計相關科系，有錯的話麻煩訂正，讓我多學點新知識）
下圖是投擲硬幣 31 次的正面出現次數的常態分佈圖
擲 31 次出現 11 次正面的機率約為 3.943%
比擲兩個骰子同時出現六的機率還高（1/36 = 2.778%）
也比連擲 5 個硬幣都出現反面的機率高（1/32 = 3.125%）
我不是在說遊戲不可能作弊，只是我個人認為 31 擲 11 正面的機率還是很高，沒有決定性的證據可以證明它作弊（總不能玩骰子骰到雙六就一律認為灌鉛吧）
版上很多人說自己「體感」硬幣都丟得差，其實這種現象本身也很正常的
畢竟人類有負面偏誤，負面事物對心理的影響比正面和中性事物來得大
再加上損失厭惡，自己擲到 3 個正面超爽，對面擲到 3 個正面就「這什麼糞 GAME！！！！！」
再加上損失厭惡，自己擲到 3 個正面超爽，對面擲到 3 個正面就「這什麼糞 GAME！！！！！」
一堆人覺得小霞該被 NERF，但另一堆人覺得硬幣正面數太少
說到底，每個人都覺得「對面的小霞很強，自己的小霞很弱」這件事本身就不合常理啊XD
而且每個遊戲版會上面的發文除了攻略、提問以外，就屬抱怨最多了
（哪個職業太強、哪個關卡太難、哪個技能 OP）
會發文稱讚的極為少數（比攻略還稀有...），稱讚遊戲還常常會被嗆是工讀生
如果有一篇文章是在講「最近硬幣常常都是正面，好棒」，我想不被 BP 到爆才怪
因此版上看起硬幣數偏低也是很正常的
抽卡/得卡玄學
這應該不用舉例了，一堆人在分享，甚至還上網路新聞了
我個人是完全不相信這些玄學啦，做這些東西可以為公司帶來什麼？我只想到滿滿的缺點而已
不過做事不能夠僅憑猜想，需要實際測試：開封卡包後直接斷網，一樣可以正常選包、抽卡
而且之後即使關掉 APP 重新開始，或是連上網路繼續遊戲，都不影響抽卡結果
結論：按下抽卡時會拿到什麼就已經固定了，後面的選包、拆包都只是演出而已，對結果沒有任何影響
以工程師的角度來看，如果今天文件上寫選反面卡包、選凹包、特定角度撕卡包等或是其他任何方式會影響抽卡機率，應該該怎麼實作呢？
首先，為了預防玩家作弊亂改 APP，所有的抽卡過程實際都是由伺服器處理的，APP 僅負責演出
否則玩家修改記憶體就可以控制要出哪張卡片了
就算沒有相關工具，也可以透過斷網 --> 抽卡 --> 抽到爛牌就關 APP 重來，抽到好牌才連線同步 這樣的手段來控制想要取得的內容
既然所有抽卡邏輯都在伺服器，如果要讓玩家可以影響出牌機率的話，就必須把對應操作的參數也回傳伺服器，例如：抽了第幾包、用怎樣的角度/速度撕卡包等
伺服器結合這些東西運算後再回傳結果給 APP，這不是白白增加工作量和浪費網路頻寬嗎？
而且這還單單只是程式開發而已，實際真要做這個功能的話，還會牽涉很多人，例如企劃文件上要載明確切規格、數值設計要設計補正公式、測試和品管部門要針對所有可能的狀況做測試、法務部門也需要熱身（後續說明）等等
這真的需要很有愛才會這麼做（很有愛就不會把特效做得那麼陽春了...）
投入了那麼多資源後，公司可以得到哪些好處呢？營收會增加嗎？
我想反而會因為玩家可以輕易拿到好卡而降低營收...
對照一下，抽卡-->伺服器回傳結果-->動畫演出&互動，邏輯和測試不是都很簡單嗎？
然後再隨機丟幾個不同的視覺彩蛋讓大家驚喜一下，說不定還可以賺到幾篇討論
歐洲帳
有不少人說歐洲還是非洲是帳號建立時就確定的，我不知道這些話到底是認真還是反串XD
上面那個抽卡玄學中我有提到，如果真有方式可以修改機率的話，法務部門需要先熱身（準備被吉）
不少國家對於電子遊戲轉蛋都有相關規範，雖然各國法規目前沒有統一標準，但主要規範大致包含：
1. 資訊揭露：大多數國家要求遊戲必須明確揭露轉蛋機率，讓玩家知道能獲得每項商品的機率
2. 年齡限制：部分國家對轉蛋機制設置了年齡限制以保護未成年玩家
3. 禁止或限制某些類型的轉蛋：部分國家禁止或限制特定類型的轉蛋，防止賭博或沈迷
4. 消費者保護：多數法規都強調保護消費者權益，防止遊戲利用不透明的機制誤導玩家
Q1: Pokemon TCG Pocket 有沒有標示機率？
A:1 有，它甚至還有防沈迷設計（可以假定它十分重視相關規範）
Q2: 標示機率後，透過任何方式降低機率會不會違反上述規定？
A2: 會違反規定 1 和規定 4，顯示不實資訊，並誤導玩家
Q3: 如果改成提高歐洲帳號抽中稀有卡的機率，會不會違反規定？
A3: 同上，一樣會違反規定，因為提高稀有卡機率 = 降低普通卡機率
說到底，有什麼理由非要區分歐洲帳或非洲漲（或是設定隱藏的運氣值）？
花時間花資源做了一個會觸法的東西不說，這對營收到底有什麼好處？
歐洲人就會課金嗎？還是非洲人會課的更多？
大課長拿到非洲帳發現一灘死水後棄坑怎麼辦？
（真要說的話我還覺得依照課金程度區分運氣還比較說得過去XDDDD）- 11/09 新增 抽到重複稀有卡的機率計算
- 抽 60 包卡包後，抽到重複的二星機率將近 100%！
- 11/11 新增 投擲 384 枚硬幣正反面統計
- 正面機率 52.08%（95% 的信賴水準，誤差 5%）
- 11/14 新增 小霞 160 枚硬幣正反面統計
- 正面機率 53.13%（樣本數不足，持續更新中）
- 11/14 新增 小霞 482 枚硬幣正反面統計
- 正面機率剛好 50.00%
- 11/16 新增 小霞 1436 枚硬幣正反面統計
- 正面機率 51.25%（95% 的信賴水準，誤差 5%）
- 11/19 新增 小霞 2108 枚硬幣正反面統計
- 正面機率 51.42%（95% 的信賴水準，誤差 3%）
以上，報告完畢
電梯