題目的意思可看作是…
「24組信件任意裝配,每個信封只放1封信,放對4封的機率」
「24人參加聖誕節禮物交換,有4人抽到自己帶來的禮物的機率」
「24對夫妻交換舞伴,只能男女配,出現4組是原夫妻組合的機率」
以前學校是教我們用排容算信封問題,如果還記得怎麼算的話,可以先試著算算看
要我用排容算的話,光10項就翻桌了,還20項……
1組,絕對不可能放錯。錯位排列數:0
「①」
2組,放錯的情況只有1種。錯位排列數:1
「①②」「21」
3組,全部放錯的情況有2種。錯位排列數:2
「①②③ 21③ 312
①32 231 3②1」
4組,全部放錯的情況有9種。錯位排列數:9
「①②③④ 21③④ 312④ 4123
①②43 2143 3142 41③2
①32④ 231④ 3②1④ 4②13
①342 2341 3②41 4②③1
①423 2413 3412 4312
①4③2 24③1 3421 4321」
接下來排列數量會很多,不再適合用上述方式
有兩種簡單方式可求出錯位排列數
一、以第0項為1作起始,前兩項相加再乘前一項的項數
第0項:1
第1項:(1)*0= 0
第2項:(1+0)*1= 1
第3項:(0+1)*2= 2
第4項:(1+2)*3= 9
第5項:(2+9)*4= 44
第6項:(9+44)*5= 265
第7項:(44+265)*6= 1854
第8項:(265+1854)*7= 14833
第9項:(1854+14833)*8= 133496
以此類推…
{1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, …}
二、n!/e(e=2.71828182846)
5!/2.71828182846= 44.1455
6!/2.71828182846= 264.8732
7!/2.71828182846= 1854.1124
8!/2.71828182846= 14832.8991
9!/2.71828182846= 133496.0916
以此類推…
這方法可以跳過中間的,直接求出想要的那項
例:有7組,對3組,錯4組,出現的機率是?
ANS:
對3組,相當於從7組選3組出來,7C3= 35
錯4組,有4組彼此放錯,錯位排列數:9
機率:35*9/7!= 315/5040(6.25%)
對7組 錯0組:7C7*1/7!= 1/5040
對6組 錯1組:7C6*0/7!= 0/5040
對5組 錯2組:7C5*1/7!= 21/5040
對4組 錯3組:7C4*2/7!= 70/5040
對3組 錯4組:7C3*9/7!= 315/5040
對2組 錯5組:7C2*44/7!= 924/5040
對1組 錯6組:7C1*265/7!= 1855/5040
對0組 錯7組:7C0*1854/7!= 1854/5040
{1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854}→A
{1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1}→B
{1, 0, 21, 70, 315, 924, 1855, 1854}→A*B