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日誌2020-10-12 15:26

[達人專欄] 微積分到底在幹嘛？讓我們從微分開始

作者：解凍豬腳

　
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　　想像一下：你現在駕駛一輛小轎車，行駛在高速公路的 102.4k 處。經過了 54 分鐘，你瞧了瞧路肩上的小綠牌，發現你已經在高速公路的 196.9k 處。

　　經由小學生也做得到的加減乘除，你可以藉由 196.9 - 102.4 = 94.5，推算出你在這 54 分鐘期間行駛了 94.5 km。只要做點除法：94.5 ÷ 54 = 1.75，你就會得到這段期間平均每分鐘行駛了 1.75 公里。

　　讓我們回歸除法的本質來看這件事。把 94.5 km 除以 54 min.，數字相除、單位相除，你會得到 1.75 km/min.。因為分母的單位是「分鐘」，所以實際上你得出來的 1.75 是指「每分鐘行駛的距離」，而不是「每小時行駛的距離」——既然得到了每分鐘的行駛距離，只要把分子和分母同時乘以 60，就會得到 105 km / 60 min.，我們才能間接得知它等於 105 km/h。

　　把除法的單位搞清楚是非常重要的事，因為這是瞭解微分的第一步。



。平均速率的意義

　　「你爸媽平均每個人有一顆蛋蛋。」

　　實際上在這 54 分鐘的期間，汽車的速度有快有慢，也許有時候是 100 km/h、也許有時候是 110 km/h，正常來說不太可能全程都恰恰維持在 105 km/h。

　　看一下圖表吧。如果我們以 x 座標表示時間（分鐘）、y 座標表示位置（公里）：



　　可以注意到，同樣都是「從 102.4k 出發，在第 54 分鐘的時候抵達 196.9k 的位置」，綠色的直線表示了「從頭到尾都維持 105 km/h 的速度」的狀況，紅色的曲線表示了「從靜止狀態開始加速」的狀況，無論是前者的跑法還是後者的跑法，它們的平均速率都是一樣的。

　　為什麼一樣？因為我們不看過程，只看總共跑了多遠、花了多少時間：



　　回過頭來看，我們當初在計算平均速率的時候，不就是把移動的距離除以所花時間而得到的嗎？所以，在 x 座標上每隔一個單位（分鐘）會往上爬幾個 y 單位（公里），這個比例就代表了速率有多快；在函數圖形上，這個比例被稱為「斜率」。

　　多看幾個例子就會明白了。

　　起點為 7、斜率為 2 的直線，每往右經過一個單位，就會往上爬 2 個單位：



　　起點為 3，斜率為 -0.5 的直線，每往右經過一個單位，就會往下爬 0.5 個單位：



　　起點為 5，斜率為 0 的直線，無論爬幾個單位，它始終是橫的：



　　簡單來說，只要計算「y 的變化量 ÷ x 的變化量」，得到的結果就是斜率了。一般我們會用 ∆x 來表示 x 的變化量、用 ∆y 來表示 y 的變化量，∆ 讀作「delta」：



　　∆x、∆y 個別只是一個符號而已，不用覺得很可怕。如果我們把 y 的變化量取名叫做 b、把 x 的變化量取名叫做 a，那其實道理也是一樣的，只是把 換成用 來表示而已：



　　（這樣看起來是不是親民多了？）



。平均和瞬間

　　然而，現實生活就像剛才所說的一樣，我們不可能油門一踩下去就是直接 105 km/h，行駛過程也許有快有慢，要是這時候我們想求其中「一瞬間」的速率（斜率）呢？

　　這就是微分在做的事情——恭喜你！總算進入主題了。

　　隨便畫個函數圖形。試著找一些點，觀察它那一瞬間的速度，然後把線畫出來：







　　可以注意到，如果我們想要求得那瞬間的速度，只要找到「剛好通過那一個點，而且和那個點方向一樣的線」就好了——這條線在數學上我們稱為「切線」。

　　這事還真不難。所謂的「瞬間」，其實就代表了「間隔時間非常短」，所以我們只要把這兩個點之間的 ∆x 逐漸縮小，縮小到「幾乎」是 0 的時候，目的就達成了。

　　假設我們要取得 A 點的切線斜率，先隨便另取一個 B 點：



　　還不夠近，我們把 ∆x 縮小：



　　還是不夠近，我們把 ∆x 縮小：



　　再讓 ∆x 繼續縮小，直到它小到幾乎是 0：



　　成功了！我們達到目的了。剛才我們說斜率就是兩點之間的 的值，所以我們只要把這個 ∆x 縮到極小，那這條割線的 比例就會無限接近切線的 比例，我們也就相當於找到該點的切線斜率。

　　我們可以做成動畫來理解這個過程，你會發現割線（藍色）將因為 ∆x 越來越小而無限靠近切線（橘色）：





。導函數

　　剛才我們做的事情就是所謂的微分。把一個函數透過微分所得出來的新的函數，就是它的「導函數」。

　　和上次提到的「檢驗極限是否存在」原理很像，我們如果要判斷一個點能不能微分，只要判斷它各自從左右邊微分的結果是否相同即可。如果一個函數從左邊逼近的切線斜率和從右邊逼近的切線斜率一樣，那這個點的切線斜率就存在，同時我們稱為「可微」。

　　可微通常都是連續的，但連續不代表一定可微：



　　比如上圖的 f(x) = |x|，它任一點都是連續的，但它在 f(0) 的時候，因為它從左邊逼近的時候斜率是 -1、從右邊逼近的時候斜率是 1，兩者顯然不一樣，那這時候去探討切線斜率是沒有意義的，也因此這函數在 f(0) 的時候不可微分了。

　　如果打開你的微積分課本，你應該很快就會看到導函數的定義：


　　或者是：


　　別被嚇著了，它只是把剛才講到的 換個更完整的方式來說而已：



　　A 點的 x 座標：x
　　A 點的 y 座標：f(x)
　　B 點的 x 座標：x+∆x
　　B 點的 y 座標：f(x+∆x)

　　把 y 座標互減、x 座標互減再相除，當然就是 了。

　　這裡有個很重要的觀念是，「讓 ∆x 趨近於 0」和「令 ∆x = 0」是不一樣的，畢竟除法是不允許分母為零的，如果直接令 ∆x = 0 的話，會使得 無效。

　　這裡同時也會衍生一個新的疑問：「如果我讓 ∆x 趨近於 0，那 的值不就會趨近於無限了嗎？」

　　錯了！微分這件事情，只不過是把兩個點的距離靠得非常近。即便是到微觀尺度，∆y 和 ∆x 之間的比例仍然會存在——畢竟 y 的值本來就隨著 x 決定的，不要忘記 的意義在於這條線有多斜。

　　拿個更簡單的例子來說：假設今天有個函數 f(x) = 3x，我們都知道這是一條斜率為 3 的直線。現在在直線上任取兩點，這兩個點之間的距離不管有多近，∆y 和 ∆x 之間的比例始終是 3，顯然不會因為 ∆x 變小而讓它們之間的比例莫名其妙變成無限大，拿到曲線上面，差別只在這個比例會浮動而已。



。實際做做看

　　一般來說，第一次做微分通常會是拿 y = f(x) = x² 當作對象。

　　我們計算 會得到：


　　展開：


　　把相減的 x² 抵銷掉：


　　把 ∆x 約分——再強調一次，這個 ∆x 可以約分！因為它不是 0，它只是很接近 0：


　　化簡過後的式子裡 ∆x 極小可以忽略掉，結論就是如果我們把 x² 圖形兩點間的的 ∆x 縮到極小、幾乎變成一個點的時候，我們會得到這兩點的 趨近於 2x。

　　透過微分得出來的函數就叫做導函數，這個把 ∆x 縮到極小而得出導函數的過程，我們可以說是「把 f(x) 對 x 微分」，用來表示導函數的方式有很多種——

　　比如，直接加一撇（讀作 f prime of x）：f '(x)

　　比如，前面加上一個微分運算符： 或 。

　　這裡的 dx 其實也只是一個符號而已，表示「極小的 ∆x」，概念是一樣的，不要覺得它很可怕。既然都這麼說了，那這個函數的 在微分後當然也可以表示為 。

　　比如，前面加一個大寫 D，這個 D 表示微分：Df(x)

　　比如，括號上標 1，表示微分一次：

　　第一種和第二種是在基礎的微積分計算裡最常見的寫法，後面兩種以後也許用得到，稍微看看就好。



。我們大費周章解釋了微分，所以得到的 2x 到底有什麼意義？

　　剛才在做微分的過程當中，我們始終沒有把 x 的值給寫死，所以這個 f '(x) 自然適用於整個 f(x)，簡單來說：

　　一、f(5) 的值是 25，所以 (5, 25) 這個點會在 f(x) = x² 上面
　　二、f(x) 在 f(5) 的切線斜率為 f '(5)，也就是 2×5 = 10

　　這就是導函數的用法——它就是這麼好用！只要代入一個點，它就可以得到該點的對應切線斜率了。

　　你可以試著把 x³ 微分，沒有意外的話會得到 3x² 的結果，當然你也可以做做看更高次方的函數（只是算式會看起來複雜一點），接著會發現以下的規律：


　　試著把常數函數微分，也會發現任何的常數拿去對 x 微分都會得到 0（畢竟常數函數每一點的斜率都是 0）：


　　常數係數先乘或後乘，也不會影響到微分的結果：


　　也就是說，像這樣：


　　除此之外，如果令 f(x) = g(x) + h(x)，然後把 f(x) 微分，再稍微整理一下，你也會發現以下的規律：


　　這就是所謂的微分加（減）法律，「兩個相加再微分」和「先微分後再相加」會得到一樣的結果。不過其實也只是幹話而已，因為這個規律根本沒有什麼好記的（但乘法跟除法就不一樣了）。總之，基於這些規律，遇到多項式函數只要一項一項微分就可以了，範例：


　　只要吸收完這篇的內容，恭喜你！你的基礎微積分期中考應該已經可以拿到至少 20 分了。如果教授很佛的話，你這次的期中考應該已經 pass 了。

　　快去輾壓你們系上的第一名吧。
　

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