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日誌2020-10-16 08:22

[達人專欄] 微分的運算法則：乘法律、除法律、連鎖律

作者：解凍豬腳


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　　對！我知道大家的期中考已經快到了，趕快來追進度。

　　這篇的內容偏向微分的基本工具（技巧），可能會對純代數計算著墨較多。如果你已經確定這輩子不會再碰到微積分相關考試的話，可以直接跳過不看；相對地，如果你是本來就對微積分有興趣或是正在修習微積分課程的同學，好好吸收本篇內容吧！希望這些觀念的細節可以讓剛入門的你少走一點冤枉路。

　　上次我們講到了最簡單的微分公式 ，還有形同幹話的加法律、減法律。

　　以加法律、減法律來說，我們可以假設 h(x) = f(x) + g(x)，代換一下、移項一下，便能輕易地推導出來：

　　至於減法律就只是差在這 g(x) 的係數多了一個負號罷了，所以微分減法律同理。

　　但乘法律和除法律就不能像加法律一樣直接照做了。

　　如果在這裡詳細證明完乘法律和除法律，只怕等我說完，大家的期末考也已經考完，所以在這裡比較一下，讓大家知道 就行。

　　我們首先來看看 的結果，它應該要長得像這樣：


　　那我們來看看 展開之後會是怎麼樣：


　　顯然這兩個東西完全不同，得證：。



。微分乘法律

　　實際上，微分乘法律是這樣的：


　　這看起來很恐怖，但你身為一個不想明年再來的大學生，你還是得學會它。為了減少你的記憶負擔，微分乘法律可以簡化成：

D(fg) = gDf + fDg

　　看起來簡單多了吧？上次在講微分的時候就說過，微分運算符 可以直接用大寫 D 來代替。像這種單變數函數當中長得比較單純的，反正會用到的場合基本上求的都是相對於自變數的極小變化率，也不會有其他的變數了，所以咱們也不要浪費腦袋空間，只要記得「一個微一個不微、一個不微一個微，兩個加起來」，乘法律做起來就是這麼輕鬆。

　　實際做一次。假設現在有個函數 f(x) = (3x³+7x²+2x+5)(5x³+6x²+x+8)，如果我們要把它直接展開來再一項一項微分，這是可以的。然而，若想展開這樣的式子，必定要花費不少時間，而且顯然教授出這種題目不是為了考你如何展開多項式。

　　這兩組 x 的函數，我們套用乘法律，就可以快速地列出算式，然後心算一下：


　　答案已經出來了。一般來說教授出這類題目就只是單純要考你微分乘法律而已，並不會要求你再繼續把式子展開，因此只要做到這一步就已經算是大功告成。



。微分除法律

　　微分除法律長得比較醜一點：


　　或是你要這樣記也可以，看你覺得哪一種記得比較牢：


　　這裡因為分子是 gDf - fDg，所以前後順序不能搞錯，搞錯的話答案就會差一個負號了。微分除法律實際使用起來會像這樣：


　　當然如果你是已經熟悉微分連鎖律的同學，記不住除法律的話，你可以把放在分母的 g(x) 移到分子，然後掛上 -1 次方，把它當成微分乘法律 + 微分連鎖律的組合，自己推回來，那結果還是一樣的：




。瞭解微分連鎖律之前，先搞清楚狀況

　　坦白說，拿掉枯燥的證明過程的話，我覺得乘法律和除法律真的沒有什麼好講的。接著繼續說剛才提到的微分連鎖律（chain rule）吧。

　　先別急！這裡得要好好釐清基本觀念的細節，否則微分連鎖律對你來說就只會是一個沒有什麼意義的死板公式。回想一下，我們最初提到「微分」這件事情的本質： 的意義就是「當一個點沿著函數圖形作微小移動的時候，y 跟 x 變化的量的比例應該是如何？」

　　比如說，我們現在有一條線：y = 3x + 2。當我們在圖形上面任取一個點，然後沿著這個圖形稍微移動一點點，我們知道這個 y 增加的量和 x 增加的量會呈 3:1 的比例，所以這個函數的 就應該等於 3。

　　上述情況，我們可以記作 ，也可以再透過移項直接得到「dy = 3dx」，意思就是「一個點沿著這條線走的時候，那一瞬間，y 變化的量總是 x 變化的量的 3 倍」。

　　像這種把「y 對 x 微分」記為 的寫法，就是萊布尼茲發明的（這真的很棒，比起 f '(x)，我更喜歡 這種記號）。

　　再舉個例子。假設座標平面上有一個函數圖形：y = 7x³。我們把這個函數透過微分可以得到 ，也就是說：當我有一個點在這條曲線上移動極小一步的時候，那一瞬間，「y 的變化量」應該是「x 的變化量」的 21x² 倍，而具體這個變化比例的數值是多少，就由當下 x 的值來決定——當我在 x = 1 的時候， 應該要等於 21；當我在 x = 9 的時候， 應該要等於 1701。

　　當然我們也可以經由移項得到 ，所以也能反過來說：如果我有一個點在這條曲線上移動極小一步的時候，那一瞬間，「x 的變化量」應該是「y 的變化量」的 倍——畢竟如果你是我老爸，那我當然就可以說我是你兒子嘛。



。微分連鎖律，實際做一次

　　如果今天有一個函數：

　　依照 ，我們知道：如果我們把 x 做微小的變動，那麼 3x³+2x²+5 的極小變化量就應該是 x 的極小變化量的 9x²+4x 倍。

　　這時候問題就來了：我們只知道 3x³+2x²+5 對 x 微分的結果，那麼 對 x 微分的結果呢？

　　你要直接展開嗎？修但幾咧！那樣等你寫完一題大概考試也結束了。試著思考一下：假如你班上有個富二代同學，他手上握有一堆股票，所以他靠著龐大股息賺錢的速度是你的 8 倍；富二代同學的老爸手上握有整間工廠的經營權，所以他賺錢的速度是他兒子的 6 倍。請問：他老爸賺錢的速度是你的幾倍？

　　48 倍嘛，這不用想也能心算出來。

　　依照我們學過最簡單的 可以知道：如果有一個變數 z 和一個 ，這個 的極小變化率，會是 z 的極小變化率的 倍。同理，如果我們現在有一個 3x³+2x²+5 和一個 ，那麼 的極小變化率就應該是 3x³+2x²+5 的極小變化率的 倍：


　　這個道理，其實就跟剛才講的賺錢速度是一樣的概念。你只要知道「富二代同學他老爸的賺錢速度是富二代同學的幾倍」和「富二代同學賺錢的速度是你的幾倍」，便能推知他老爸賺錢的速度是你的幾倍。既然如此，我們可以按照這種邏輯，推算出 x 在 上面移動的瞬間， 的極小變化量是 x 的極小變化量的幾倍了：


　　這就是微分連鎖律。要是把微分連鎖律寫成公式的話，我們會寫作：


　　這個 y 就是富二代同學的老爸、u 就是你的富二代同學、x 就是你。這個 u 的具體內容，就由你能掌握的來決定。例如，你知道如何把 3x³+2x²+5 對 x 微分，也知道 這條公式，那你就把夾在中間的 3x³+2x²+5 設為一個間接的變數 u，再求出來就可以了：


　　你應該可以感覺到通常的解法（通常啦）就是把看起來最複雜的那一坨直接替換成 u，然後就可以按照微分連鎖律來做，熟悉了以後你甚至能夠僅靠心算直接解出這類題目。

　　做微分的題目時，絕對要注意「微分的對象」，我時常跟人強調這點。像剛才的例題裡，當你在做 的時候，千萬不能傻傻地以為 就完事，畢竟富二代同學的老爸賺錢速度是他兒子的 6 倍，不代表也是你的 6 倍（你又不是他兒子）。

　　簡單來說：


　　注意分子和底數。

　　這也是我特別喜歡萊布尼茲標記法的原因。直接使用 dx 這種形式來表示極小變化量，和其他的極小變化量一起列在式子裡，就能很清楚地標明不同的瞬間變化量的比例，而不是什麼都沒交代、只草草地在函數上面加一撇。在需要大量代換的場合，萊布尼茲的標記法就顯得非常有用了。

　　由於我真的很聒噪（誤），我必須把篇幅控制在你睡到口水流出來或氣到把筆折斷以前趕緊作結。瞭解了微分的加、減、乘、除、嵌套之後，只要是還沒涉及對數、三角函數的微分，你應該已經有足夠的基礎知識去應戰大部分的純計算題了，剩下就只差在練習量的多寡（這影響到的是解題的速度和拆解式子的直覺精準度）。

　　正在修微積分的同學們，廢話不多說，這篇文章看懂了也別愣著，趕緊去練習吧。
　

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